안녕하세요. '아낌없이주는수학' 과외쌤입니다! 저는 기본적으로 학생의 성격에 맞춰서 수업을 하려고 노력하는 편입니다. 실력이 부족하다고 혼내거나 과한 풀이를 하면서 학생에게 이해를 강요하는 것은, 오히려 학생의 기를 죽게 만드는 역효과가 날 수 있기 때문입니다. 그래서 저는 학생이 부족한 점을 빠르게 파악하고, 섬세하고 상냥하게 문제풀이를 합니다! 걱정 말고 함께 열심히 공부해보아요 ㅎㅅㅎ
과목별 수업 내용
수학1
1. 수열
핵심 문항이 많이 출제되는 단원이므로 학생이 가장 먼저 학습하면 좋습니다.
i) 등차수열과 등비수열
-등차수열은 정의역이 자연수인 일차식, 등차수열의 합은 상수항이 0인 이차식
-등비수열은 계산이 주를 이룹니다.
특수한 수열의 특수한 계산 방법, 대칭성, 기하적 관점에 익숙해지는 것이 중요합니다. 등차수열과 등비수열을 엮어서 출제한 자체 제작 문제들이 있으니 꼭 풀어보서야 합니다!
ii) 낯선 수열
직접 해보고 써보면서 귀납적으로 규칙성을 찾아내는 것이 핵심입니다. 모든 문제를 이렇게 풀어드리겠습니다!
2. 삼각함수
삼각함수 단원은 중학교 때 배우는 직각삼각형, 여러 가지 도형의 성질과 밀접한 관련이 있습니다. 따라서 사인법칙과 코사인법칙, 그리고 중등기하의 균형을 맞추는 학습이 중요합니다. 제가 도형 러버인 만큼 우리 함께 도형이랑 친해져요 ㅎㅎ
한편, 삼각함수는 그 자체로 "주기성"과 "대칭성"이 있으니 항상 이를 생각하면서 어딘가는 특수한 각이나 상황 내지는 반복이 있을 것이라는 믿음 자체가 중요합니다.
i) 삼각함수의 뜻
-삼각함수는 단위원 위의 동점의 x좌표(cos), y좌표(sin), 그리고 동점과 원점 간의 기울기(tan)로 정의됩니다.
-기본적인 계산 방법 뿐만 아니라 "암기 사항"들까지 전부 챙기셔야 뒤에서 와르르 무너지지 않습니다.
ii) 삼각함수의 그래프
-단위원을 바탕으로 그래프 이해
-특수각과 비율 관게
단위원과 그래프 역시 "주기성"과 "대칭성"이 중요합니다!
iii) 삼각함수 도형
-사인법칙과 코사인법칙+중등기하(닮음, 무게중심, 중선정리, 할선정리, ...)
여담) 도형 울렁증이 있는 학생들이 많다는 걸 알고 있습니다. 그러나 저에게는 아주 좋은 자체 제작 문제들이 많으니 겁먹지 않으셔도 됩니다! 함께 풀어보고 이겨내보아요 ㅎㅎ
3. 지수와 로그/지수함수와 로그함수
계산이 주를 이루는 단원입니다. 하지만 핵심 문항으로 간간히 출제가 되고, 출제될 때마다 할 일이 많고 복잡해 보이는 겉모습 때문에 정답률이 낮게 나옵니다. 확실하게 학습을 해두어야 합니다!
i) 지수와 로그
-지수와 로그의 관계
-기본적인 계산 방법
-"케이스를 분류하는 문제"(학생들의 뒤통수를 후렸던 문제들을 위주로 학습합니다!)
ii) 지수함수와 로그함수
-지수함수와 로그함수의 대칭이동, 평행이동
-좌표와 도형을 유기적으로 연결하는 해석기하(여기서도 "중등기하"가 중요합니다!)
수학2
수학2는 개별적인 세 단원으로 이루어진 수학1과는 달리, 함수의 극한과 연속/미분/적분이 유기적으로 엮여 있는 과목입니다. 따라서 이러한 호흡으로 학습하는 것이 중요합니다.
함수의 극한과 연속 개념을 이해
-> 미분과 적분의 원리를 이해
-> 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수 간의 관계 파악+비율 관계 파악
-특수한 경우에 대한 날카로운 직관(경계적 사고)
-일반적인 경우에 대한 지구력(계산)
경계적 사고와 계산의 중용을 통한 "방정식과 부등식, 그래프 해석의 자유로움" 까지 전부 알려드리겠습니다!
미적분
미적분 과목은 수학1과 수학2에서 배운 내용을 종합하고 또 다시 새로운 내용(수열의 극한, 삼각함수의 덧셈정리와 극한, 구분구적법, 여러 가지 함수의 미분법과 적분법)을 얹어서 새로운 스타일의 문제들을 출제하는 과목입니다. 삼각함수와 지수로그함수를 섞는다거나, 분수식을 적분한다거나, 적분을 증명하거나 본 적도 없는 복잡한 함수를 해석하는 문제들이 쏟아져 나오니, 가형 시절 기출문제에 착안해서 절대로 스탠다드를 낮추지 않고 끝자락까지 학습시키겠습니다!
저는 대표 기출 문제들을 글의 형태로 복습할 수 있도록 수업이 끝나고 '읽어보기' 자료를 제공합니다. 아래는 23학년도 수능 22번 읽어보기 자료입니다. 저와 함께 수업을 하지 않더라도 분명 도움이 되실 테니 꼭 풀어 보고, 읽어 보시길 바랍니다!
#231122 읽어보기
주어진 항등식을 다음과 같은 형태로 변형해 보겠습니다.
(1,f(1)) ~ (x,f(x)) 사이의 기울기함수=f'(g(x)) (x는 1이 아닌 실수)
주어진 조건만으로 우변을 관찰하는 것은 다소 어려워 보이니, 그래프상에서 (x, f(x))를 움직이면서 좌변을 관찰해 보도록 합시다. 변곡점의 x좌표를 k라 하겠습니다.
보충 설명 1
간혹 ‘주어진 항등식이 삼차함수=삼차함수‘ 라는 생각에 빠져 g(x)를 일차함수라고 두는 학생들이 있는데, (나) 조건에 의해 g(x)는 일차함수가 될 수 없습니다.
k=1일 경우
x가 1에 가까워질 때 기울기 함수의 최솟값이 나올 것 같으니 항등식에 lim x->1을 취해 보겠습니다. f(x)가 미분가능한 함수이므로 미분계수의 정의를 사용할 수 있고 g(x)는 연속이므로 f'(g(1))=f'(1)이 됩니다. 따라서 g(1)=1이고 (나) 조건에 모순입니다.
보충 설명 2
값을 대입한 것이 아니므로 이 기울기 함수의 최솟값은 존재하지 않습니다.
보충 설명 3
방정식 f’(x)=f’(1)은 중근을 가지므로 g(1)=1이라고 특정할 수 있습니다.
k<1일 경우
f’(1)(x-1)+f(1)이 변곡점 왼쪽에 있는 어떤 점 (a,f(a))에서 f(x)와 접할 때 기울기 함수가 최솟값 f’(a)를 가진다는 것을 알 수 있습니다. 삼차함수의 대칭성과 비율 관계에 의해서 g(a)=a 이거나 g(a)=2k-a 이므로 (나) 조건에 모순입니다.
보충 설명 4
삼차함수의 대칭성과 비율 관계는 항상 활용할 수 있어야 합니다.
k>1일 경우
f’(1)(x-1)+f(1)이 변곡점 오른쪽에 있는 어떤 점 (b,f(b))에서 f(x)와 접할 때 기울기 함수가 최솟값 f’(b)를 가진다는 것을 알 수 있습니다. 삼차함수의 대칭성과 비율 관계에 의해서 g(b)=b 이거나 g(b)=2k-b 입니다.
g(b)=2k-b인 경우
2k-b f(3)=6
삼차함수의 대칭성과 비율 관계를 이용하여 센스 있게 f(x)를 작성하면 f(x)를 (x-3/2)^2(x-3)-(ax+b) 로 잡을 수 있습니다. f(0)=-3, f(3)=6 => f(4)=13
Comment
이 문제는 ‘기울기 함수의 관찰’, ‘g(x)의 최솟값이 5/2이므로 모순’, ‘f’(g(x))≥f’(b)일 때 A